Minggu, 04 Desember 2016

Keterbagian



DEFINISI KETERBAGIAN
Pembagian bilangan bulat merupakan bahan pelajaran matematika yang sudah diberikan di sekolah dasar. Bahan pelajaran ini diperluas penggunaannya sampai pada pemfaktoran prima, faktor persekutuan terbesar (FPB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan keterbagian oleh bilangan tertentu (misalnya keterbagian oleh 2,3, atau 9). Untuk memberikan dasar atau landasan yang lebih kuat kepada guru matematika di sekolah, maka mereka perlu  belajar lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.
Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.
II.        SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Teorema 1                                                         
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan  b│c maka a│c.
Bukti
a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga   c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p  anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.

Teorema 2
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk suatu m,n anggota bilangan bulat.
Bukti
            c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga a =cx dan b =cy
Sehingga, am = c(xm) dan  bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
 am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).

Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3)
a.          Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b.         Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a.          Jika  a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat  m ≠ 0
sedemikian sehingga b = am.
Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b.         Andaikan  a│b dan b│a.  Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0  maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika  a ≠ 0 dan  b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema

0 komentar:

Posting Komentar